ピンチ

プロジェクトが根本的に破綻するかもしれない。僕が考えてた理論の核はgauge変換で次の様に変換させていた

\psi_{\vec{k}}\rightarrow\psi_{\vec{k}}e^{i\theta_{\vec{k}}},\quad\Delta_{\vec{k}}\rightarrow\Delta_{\vec{k}}e^{i(\theta_{\vec{k}}+\theta_{-\vec{k}})}

これから全てが始まるんだが、経路積分ではなく、普通に第二量子化でギャップを書くと次の様にかける

\Delta_{\vec{k}}=-\sum_{\vec{k}}V_{\vec{k}\vec{p}}\langle{\psi_{-\vec{p}\downarrow}\psi_{\vec{p}\uparrow}}\rangle

…gauge変換間違ってない？やばくない？

 

ただこういうことを考えたら、既存の理論も怪しく思えてきた。multi-bandの時ってギャップは、ポテンシャルがon-siteで、実空間でやると

\Delta_l(\vec{r})=-\sum_mV^{lm}\langle{\psi_{m\downarrow}(\vec{r})\psi_{m\uparrow}(\vec{r})}\rangle

だから、よくやるgauge変換

\psi_l(\vec{r})\rightarrow\psi_l(\vec{r})e^{i\theta_l(\vec{r})/2},\quad\Delta_l(\vec{r})\rightarrow\Delta_l(\vec{r})e^{i\theta_l(\vec{r})}

も怪しく思えてきてしまった。末期。

 

もし上のgauge変換が間違っていたら、やれることは2通り。

1、SCESでの考察を諦めて、例えばbandの底だからとかなんとか理屈つけてFermi液体で近似しちゃう(色んな人がこうしている。)→色んな人が色々やっているので、わざわざ俺がやる意味が薄い。計算演習+院のアプライの時に頭いいアピール出来るくらい

2、1次元ならtight-bindingでもフーリエ変換せずにそのままなんとかなる。系の次元が下がると面白いことが多いし、例えば今流行りのTopological Superconductivity、ていうかKitaev chainで考えても面白い(Phase fluctuationがMajorana Fermionsと何か関係するかetc)→多分留学期間中には終わらない。

 

ただ個人的には、面白いと思うことを時間を考えずに優先的に考えたい。まあ絶対死ぬけど。